Estimación por intervalos de confianza

Si queremos hacer una estimación del peso de un amigo y decimos «80 kg», estamos haciendo una estimación que no dice nada sobre la seguridad de que esto sea así.

Por otro lado, si decimos: “Estoy Seguro de que tu peso está entre 75 y 85 kg", o “Tengo casi la certeza de que tu peso está entre 78 y 87 kg», tendremos un cierto grado de confianza de que el peso está entre esos valores.

Lógicamente, a mayor intervalo mayor grado de confianza, aunque también es mayor el error con el que hacemos la estimación.

Consideremos una serie grande de muestras de tamaño n de una población de media μ y desviación típica σ.

Sabemos que la distribución muestral de la media sigue una normal N(μ,σ/√n).

estamos diciendo que la probabilidad de que, una vez extraída una muestra aleatoria de tamaño n, estamos seguros al 99% de que la media de esta muestra está en el intervalo

Estos intervalos se llaman intervalos de confianza para un nivel de confianza, al que corresponde un valor crítico.

El nivel de confianza, 1-α, significa que con una confianza del (1-α)·100% el intervalo contiene al parámetro que estamos estimando. A cada nivel de confianza, N_c, le corresponde un valor crítico z_α/2, relacionado con la normal N(0,1), y que verifica:

Los extremos del intervalo se llaman límites de confianza.

α se llama nivel de significación.

Para construir el intervalo de confianza en el que está el parámetro de la población con un nivel de confianza de N_c, te nemos que seguir los siguientes pasos:

–Determinar el estimador muestral

–Determinar la desviación típica correspondiente al estimador

–Determinar el valor crítico z_α/2 correspondiente al nivel de confianza N_c

–Entonces, el intervalo de confianza deseado es: (estimador - z_α/2·σ, estimador + z_α/2·σ)

Los intervalos de confianza, dependiendo del parámetro de la población que estimemos, son:

Para determinar el valor crítico si tenemos, por ejemplo, un nivel de confianza N_c = 99%, tiene que verificar:

Entonces

y si despejamos:

Usando la tabla de la normal, deducimos que z_α/2=2,58

Generalmente, podemos decir que el valor crítico z_α/2 correspondiente a un nivel de confianza N_c, se calcula por la expresión

y usando, entonces, la tabla de la normal.

Ejemplo 1. Una muestra aleatoria de 100 estudiantes que hicieron la EBAU revela que la edad media es de 18,1 años. Encuentra un intervalo de confianza del 90% para la edad media de los estudiantes que fueron al examen, sabiendo que la desviación media de la población es 0,4.

El estimador muestral es la media muestral

El intervalo de confianza en el cual está localizada la media μ de todos los estudiantes es:

Ejemplo 2. Para estimar la proporción de estudiantes de una universidad que están a favor de la reinserción social de los delincuentes, 500 estudiantes fueron entrevistados aleatoriamente. El 58% estaban a favor. Calcula el intervalo de confianza, con un nivel de significación del 5%, en el cual se encuentra la población de universitarios que están a favor.

Como n = 500, podemos aproximar p y q con las proporciones de la muestra:

Entonces, el intervalo es:

Ejercicios

1.- Se seleccionó al azar una muestra de 100 personas cuya media de ingresos anual fue de 22 675 euros, en un determinado sector de población de Madrid, y la desviación típica de 1 600 euros. Halla el intervalo de confianza para la media con un nivel de confianza del 95%.

2.- Una empresa de desarrollo de videojuegos desea conocer la aceptación que está teniendo un videojuego que acaba de lanzar al mercado. Se ofrece a un grupo de 200 personas elegidas aleatoriamente que jueguen con él durante un mes y se les pide que indiquen si les ha gustado. A 150 de dichas personas les ha gustado y al resto no. Obtén un intervalo de confianza al 95 %para el porcentaje de gente que le ha gustado el videojuego.

Soluciones: 1. (22 361,4; 22 988,6); 2. (0,69;0,81)