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programación lineal con dos incógnitas

Hoy en día los programas de programación lineal son muy complejos y manejan muchas variables. Su resolución se hace mediante el “método del simplex” con ayuda de un ordenador.

Nosotros vamos a resolver problemas con sólo dos variables, siguiendo estos pasos:

–Hacer una tabla, determinar las variables, escribir las restricciones y encontrar la función objetivo.

–Representar la región factible y encontrar sus vértices.

–Calcular el valor de la función en cada vértice y determinar la solución óptima

Ejemplos:

1) Un pequeño negocio fabrica vestidos y pantalones. Para hacer un vestido necesitan ½ hora de corte y 20 minutos de costura. Hacer un par de pantalones requiere 15 minutos de corte y ½ hora de costura. El beneficio de un vestido es de 40 € y el de un par de pantalones es de 50 €. El negocio está funcionando un máximo de 8 horas al día. Determina cuántos vestidos y cuántos pares de pantalones se deben fabricar para que el beneficio sea máximo y cuál es ese beneficio.

  • Sea x el número de vestidos e y el de pares de pantalones.
  • La función objetivo (beneficio) es:
  • B(x,y) = 40x + 50y
  • Las restricciones son:
  • La región factible será:
 
  • Resolviendo los sistemas de los pares de ecuaciones, obtenemos los vértices de la región factible: (0,0), (0,16), (16,0) y (12,8). Entonces:
  • B(0,0) = 0
  • B(0,16) = 800
  • B(16,0) = 640
  • B(12,8) = 880
  • Se deben tejer 12 vestidos y 8 pares de pantalones para obtener un beneficio máximo de 880 €
 
2) Un agricultor tiene 80 hectáreas de su finca disponible para plantar maíz y coles. Debe cultivar al menos 10 hectáreas de maíz y 20 de coles para satisfacer las demandas. Prefiere plantar más maíz, pero sólo puede cultivar un máximo de tres veces más maíz que coles. Si la ganancia del maíz es de 800 €/ha y el de coles 500 €/ha, ¿cómo debe el agricultor plantar los dos cultivos para obtener una ganancia máxima y cuál es esta ganancia?
  • Sea x el número de hectáreas de maíz e y el número de hectáreas de coles
  • La función objetivo (beneficio) es
  • B(x,y) = 800x + 500y
  • Las restricciones son:
  • La región factible será:
 
 
  • Los vértices de la región factible son: (20,60), (10,20), (10,30) y (60,20). Entonces:
  • B(20,60) = 46000
  • B(10,20) = 18000
  • B(10,30) = 23000
  • B(60,20) = 58000
  • El granjero debe plantar 60 hectáreas de maíz y 20 hectáreas de coles para obtener un beneficio máximo de 58 000 €
3) Un instituto está preparando un viaje para 400 estudiantes. La compañía de transportes tiene 10 autobuses de 50 plazas y 8 autobuses de 40, pero sólo tiene 9 conductores disponibles. El coste del autobús grande es de 800 € y el del pequeño 600 €. Calcula cuántos autobuses de cada tipo deben usar para que el coste sea mínimo.
  • Sea x el número de autobuses pequeños e y el número de autobuses grandes
  • La función objetivo (coste) es
  • C(x,y) = 600x + 800y
  • Las restricciones son:

  • La región factible será:
  • P(0,8) = 6400
  • P(0,9) = 7200
  • P(5,4) = 6200
  • Se deben usar 5 autobuses pequeños y 4 grandes para minimizar el coste (6 200 €)
También se puede usar el método gráfico. Ejemplos:
Es muy útil en regiones no acotadas:
 
Y también puedes encontrar estas situaciones:
 
 
Ejercicios
 
1) Una compañía de transporte tiene dos tipos de camiones, A y B. El tipo A tiene una cámara frigorífica de 20 m3 y una zona sin refrigerar de 40 m3 , mientras que el tipo B tiene 30 m3 en cada sección. Un tendero necesita contratar camiones para el transporte de 3 000 m3 de stock refrigerado y 4 000 m3 de no refrigerado. El coste por kilómetro es de 30 € el tipo A y 40 € el B. ¿Cuántos camiones de cada tipo debe contratar para que el coste sea mínimo?
2) Una tienda quiere liquidar 200 de sus camisas y 100 de sus pares de pantalones de la temporada pasada. Han decidido hacer dos ofertas, A y B. La oferta A es un paquete de una camisa y un par de pantalones que se venderán por 30 €. La oferta B es un paquete de tres camisas y un par de pantalones que se venderán por 50 €. La tienda no quiere vender menos de 20 paquetes de la oferta A ni menos de 10 de la B. ¿Cuántos paquetes de cada uno tiene que vender para maximizar el dinero obtenido por la promoción?
 
 
 
 
 
 
 
Soluciones: 1) 50 del tipo A y 67 del tipo B.  2) 50 paquetes de cada oferta