Resumen | Aplicaciones de la derivada

GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN

1. Dominio

Si hablamos de funciones reales con variable real:

–El dominio de una función polinómica es siempre R.

–Tenemos que eliminar las raíces del denominador de una función racional de su dominio.

–El dominio de una función irracional f(x) = √R(x) es Dom f = {x,R(x)≥ 0}

–El dominio de una función logarítmica f(x) = log_a L(x) es Dom f = {x,L(x)> 0}

2. Continuidad y derivabilidad

3. Simetría

Una función es par si f(-x) = f(x), es decir, si la gráfica es simétrica respecto al eje Y.

Una función es impar si f(-x) = -f(x), es decir, si su gráfica es simétrica respecto al origen.

4. Periodicidad

Una función se dice que es periódica con período T si, para algún valor constante no nulo T, tenemos: f(x + T) = f(x) para todos los valores de x. Si existe al menos una constante positiva con esta propiedad, se le llama período. Una función con período T se repite en intervalos de longitud T, a estos intervalos también se les conoce como períodos.

5. Puntos de corte con los ejes. Para encontrarlos debemos resolver los sistemas:

6. Asíntotas

Para encontrarlas, debemos calcular los siguientes límites:

–Asíntotas horizontales:

–Asíntotas verticales:

-Asíntotas oblicuas:

NOTA: si tenemos una función racional

–Debemos buscar las asíntotas verticales en las raíces de Q(x).

–Cuando grado P < grado Q, hay una asíntota horizontal y = 0

–Cuando grado P = grado Q, hay una asíntota horizontal

–Si grado P = grado Q + 1, hay una asíntota oblicua

7. Extremos, crecimiento y decrecimiento

Se dice que una función es creciente en un intervalo si, para todo x₁ y x₂ en el intervalo tal que x₁ < x₂, entonces f(x₁) < f(x₂).

Una función se dice que es decreciente en un intervalo si, para todo x₁ y x₂ en el intervalo tal que x₁ < x₂, entonces f(x₁) > f(x₂).

El máximo y el mínimo de una función, llamados conjuntamente extremos, son el mayor y el menor valor que toma la función en cada punto de un entorno dado (extremo relativo) o en todo el dominio (extremo absoluto).

Si f es derivable en (a,b):

–f es creciente en (a,b) ↔ f’(x) > 0

–f es decreciente en (a,b) ↔ f’(x) < 0

Si f es derivable en cЄR, entonces:

f tiene un extremo relativo en c → f’(c) = 0

NOTA: los candidatos a ser extremo relativo son cЄR/ f’(c) = 0 o aquellos en los que f no es derivable

8. Curvatura y puntos de inflexión

Para Estudiar la curvatura de una función derivable, hay que estudiar los intervalos en los que la función es cóncava hacia arriba o cóncava hacia abajo.

f es cóncava hacia arriba en c si la gráfica está por encima de la recta tangente a la curva en c.
f es cóncava hacia abajo en c si la gráfica está por debajo de la recta tangente a la curva en c.

Un punto de inflexión es un punto de la curva en el que la curvatura cambia.

Si f es derivable en (a,b)

–f es cóncava hacia arriba en (a,b) ↔ f’’(x) > 0

–f es cóncava hacia abajo en (a,b) ↔ f’’(x) < 0

Si f es derivable en cЄR, entonces:

f tiene un punto de inflexión en c → f’’(c) = 0