Resumen

Definimos la unidad imaginaria “i” como el número que cumple que

i² = -1 o i =√-1

Entonces el conjunto de los números complejos se define:

a + bi se llama forma binómica de un número complejo. a se llama parte real y b parte imaginaria.

Y los representamos en el plano.

Se llama afijo de z, al punto P(a,b)

El módulo de z es el del vector OP y el argumento de z, α, es el ángulo que forma el semieje positivo con la recta OP

Dos complejos son iguales si tienen la misma parte real y parte imaginaria.

Para sumar o restar complejos, sumamos o restamos sus partes reales e imaginarias.

Para multiplicar complejos, recuerda que i² = -1.

El conjugado de z = a + bi es:

Se puede comprobar que:

Entonces, para dividir complejos, multiplicamos numerador y denominador por el conjugado del denominador (racionalizamos).

Usamos esto para calcular el inverso de un complejo.

Si calculamos las potencias de i:

i¹= i     i²= -1     i³=i²·i= -i     i⁴=i²·i²=(-1)·(-1)= 1     i⁵=i⁴·i= i      i⁶=i⁴·i²= -1 ......

Entonces, para calcular cualquier potencia de i solo tenenos que calcular el resto de dividir esa potencia entre 4.

Una forma alternativa de caracterizar el afijo de un número complejo es por su módulo, |z|= r, y argumento, α = Arg z:

Esta forma se llama forma polar.

Para pasar de polar a binómica usamos la fórmula:

La forma polar no es adecuada para la suma y la resta, pero hace mucho más sencilla la multiplicación y la división. Sean z =r_α y z’=r’_α’, entonces:

Las potencias entonces serían:

En general: