Un vector es un segmento orientado. Lo representamos AB, donde A es su origen y B su extremo.
Las características de un vector son:
–Módulo, |AB|: la longitud del segmento
–Dirección: la dirección de la recta que lo contiene y de sus paralelas
–Sentido: el que va del origen al extremo
El conjunto de vectores con el mismo módulo, dirección y sentido (vectores equipolentes) se llama vector libre.
Para sumar dos vectores, u y v, unimos el extremo de u con el origen de v y entonces, u + v tiene como origen el de u y como extremo el de v
El opuesto del vector v, es otro vector, -v, con el mismo módulo y dirección pero con sentido opuesto.
Para restar dos vectores, u y v, sumamos u y –v.
El producto de un vector v por un escalar λ (λЄR), es otro vector, λv, con:
–módulo:|λ|·|v|
–la misma dirección
–el mismo sentido si λ>0, y el opuesto si λ<0.
El producto escalar de dos vectores, u y v, es el número:
Propiedades:
- u · u = |u|2 ≥ 0
- u · v = v · u
- λ · u · v = (λu)·v = u·(λv) λ€ R
- u·(v + w) = u · v + u · w
- Se dice que dos vectores son ortogonales si u · v = 0. Entonces: u y v son ortogonales ↔ forman un ángulo de 90o
NOTA: un vector ortogonal a u(u1,u2) es (-u2,u1)
Interpretación geométrica del producto escalar:
Se dice que un vector w es combinación linear de otros vectores, u1,u2,…,un, si existen k1,k2,…,knЄR, tales que:
w = k1u1 + k2u2 +….+ knun
Un conjunto de vectores se dice que es linealmente dependiente si alguno de ellos es combinación lineal de los otros. En caso contrario, se dice que el conjunto es linealmente independiente.
En el plano, dos vectores son linealmente dependientes si y solo si son proporcionales.
Un conjunto de vectores se llama sistema generador si todos los vectores se pueden expresar como combinación lineal de los del conjunto.
Una base es conjunto de vectores que es sistema generador y linealmente independiente. Si los vectores son ortogonales y tienen módulo 1 (vectores unitarios), se dice que es una base ortonormal.
El número de vectores en cualquier base del espacio en el que estemos trabajando se llama dimensión del espacio. Nosotros vamos trabajar en este curso en R2, el plano real, que tiene dimensión 2.
Sea B={v1,v2} una base. Como cada vector se puede expresar de forma única como combinación lineal de los elementos de la base, w = λ1v1 + λ2v2, a esos números se les llama coordenadas del vector en esa base: w = (λ1,λ2).
Nosotros vamos a trabajar con las coordenadas en la base canónica de R2, Bc={i,j}
Entonces, en coordenadas, si
- Módulo del vector:
- Argumento del vector:
- Suma y resta de vectores:
- Producto por un escalar:
- Producto escalar:
Un sistema de referencia del plano euclídeo {O;i,j} está formado por un punto O llamado origen, en nuestro caso el (0,0), y un par de vectores que formen base, en nuestro caso los de la base canónica i y j.
El vector de posición de un punto A es el que tiene su origen en O y su extremo en A. Las coordenadas del punto P entonces son las del vector OA.
Entonces las coordenadas del vector AB son las del vector de posición de B menos las del de A:
De un modo similar podríamos calcular las coordenadas del punto medio, M, del segmento AB:
El ángulo entre dos vectores, u y v, es:
