Sea f una función, se dice que F es una primitiva de f si F’ = f.
NOTA. Si F es primitiva de f →F + k (k Є R) es una primitiva de f.
La integral indefinida de f es el conjunto de primitivas de f:
Integración por partes
∫u dv = u·v - ∫v du
Integración por cambio de variable
∫F’(g(x))·g’(x) dx = F(g(x))+k
Integración de funciones racionales
- I) Si gradoP ≥ gradoQ, tenemos que dividir y descomponer:
c(x) = cociente; r(x) = resto
Entonces tenemos: polinomio + integral inmediata o caso II
- II) Si gradoP < gradoQ, tenemos tres casos:
- Q sólo tiene raíces reales simples
- Q tiene raíces reales múltiples
- Q tiene raíces complejas
- II.a) Q(x) = a·(x – x1)·(x – x2)·…
Entonces, tenemos que buscar A1, A2,…Є R, tales que:
y tendremos integrales inmediatas (ln)
- II.b) Q(x) = (x – x1)n ·…
Entonces, tenemos que buscar A1, A2,…,AnЄ R, tales que:
y entonces tendremos, de nuevo, integrales inmediatas
- II.c) Q(x) = (ax2 + bx + c)·…
Entonces, tenemos que buscar M,NЄ R, tales que:
y tendremos integrales inmediatas (ln + arctg)