Resumen | Integral definida

Integral definida

Vamos a calcular el área bajo la gráfica de una función en un intervalo, el área de R.

Para conseguirlo, hacemos una partición, P_n, del intervalo [a,b] en n subintervalos:

a = x₀<x₁<x₂<……<x_n = b

Entonces, tenemos dos opciones para calcular el área:

- La suma inferior de f asociada a la partición P_n, (área inferior) s_Pn(f)

- La suma superior de f asociada a la partición P_n, (área superior) S_Pn(f)

Obviamente:

s_Pn(f)≤ área (R) ≤ S_Pn(f)

Si elegimos otra partición, P_n’, n’ > n, entonces:

s_Pn(f)≤ s_Pn’(f)≤ área (R) ≤ S_Pn’(f) ≤ S_Pn(f)

Si hacemos el límite cuando n tiende a ∞ y ambos son iguales, entonces:

se llama integral definida de f entre a y b, y se dice que f es integrable en [a,b]

PROPIEDADES:

Teorema fundamental del Cálculo.- Si f es continua en [a,b], la función F definida en [a,b] como:

es derivable en (a,b) y F’(x) = f(x)

NOTA: f derivable→f continua→f integrable

Regla de Barrow. Si f es continua en [a,b] y F es una primitiva de f en [a,b], entonces:

Teorema del valor intermedio. Si f es continua en [a,b]:

Cálculo de áreas:

- Si f es positiva:

- Si f es negativa:

- Si f es positiva y negativa, tenemos que encontrar sus ceros en el intervalo : a₁, a₂, … ,a_k / f(a_i) = 0. Y entonces:

El área comprendida entre las gráficas de dos funciones, f y g, en [a,b]:

– Si f ≤ g o f ≥ g en el intervalo

– De otro modo, averiguamos a₁, a₂, … ,a_k in [a,b] / f(a_i) = g(a_i). Y entonces:

Volumen de cuerpos de revolución: