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Identidades notables

Llamamos identidades notables a algunos productos de binomios que aparecen frecuentemente en cálculos con expresiones algebraicas.

- Cuadrado de una suma: (a + b)2 = a2 + b2 + 2ab

(a + b)2 = (a + b)·(a + b) = a2 + ab + ba + b2 = a2 + b2 + 2ab

Ejemplo:

(x + 2)2 = x2 + 22 + 2 · x · 2 = x2 + 4x + 4

- Cuadrado de una resta: (a - b)2 = a2 + b2 - 2ab

   (a - b)2 = (a - b)·(a - b) = a2 - ab - ba + b2 = a2 + b2 - 2ab

  Ejemplo:

  (2x - 3)2 = (2x)2 + 32 - 2 ·2 x · 3 = 4x2 - 12x + 9

- Suma por diferencia: (a + b)·(a – b) = a2 - b2

   (a + b)·(a – b) = a2 - ab + ba - b2 = a2 – b2

  Ejemplo:

  (x + 7)·(x – 7)= x2 – 72 = x2 - 49

 

Podemos usar las identidades notables:

- en cálculos:

(x +1)2 – (x – 1)2 = x2 + 2x + 1 – (x2 – 2x + 1)= x2 + 2x + 1 – x2 + 2x - 1= 4x

- para descomponer polinomios en factores :

x2 – 4x + 4 = x2 – 2 · 2 · x + 22 = (x – 2)2

x2 - 9 = (x + 3)·(x – 3)

4x2 – 12x + 9 = (2x)2 – 2 · 2 · x · 3 + 32 = (2x - 3)2

 

 

 

Ejercicios:

1) Calcula:

a) (x - 2)2 - (x - 2)·(x + 2)

b) (2x + 3)2 - 3x2 - (x - 3)2 =

 

2) Descompón en factores:

a) x2 - 12x + 36 =

b) 9a2 - 16b4 =

 

 

 

Soluciones: 1) a) -4x + 8; b) 18x; 2) a) (x - 6)2; b) (3a - 4b2)·(3a + 4b2)