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Resumen

Un monomio está formado por el producto de números y letras o variables (con potencias). Un polinomio es la suma o resta de monomios. Si sólo tiene dos monomios se llama binomio y si tiene tres trinomio.
El grado de una variable es el índice de su potencia y el grado de un monomio es la suma de los grados de sus variables. El grado de un polinomio es el mayor grado de sus monomios.
Para sumar polinomios, sólo tenemos que sumar sus monomios.
El opuesto de un polinomio es otro polinomio con los monomios opuestos. Para restar polinomios, sólo debemos sumar el primer polinomio más el opuesto del segundo.
Para multiplicar un polinomio por un monomio, debemos multiplicar el monomio por cada monomio del polinomio. Para multiplicar dos polinomios, debemos multiplicar cada monomio de uno de ellos por el otro polinomio.

Lo contrario de la propiedad distributiva es sacar factor común:

  a · b + a · c = a·(b + c);   a · c + b · c = (a + b)· c

Llamamos identidades notables a algunos productos de binomios que aparecen frecuentemente en cálculos con expresiones algebraicas.

- Cuadrado de una suma: (a + b)2 = a2 + b2 + 2ab

- Cuadrado de una resta: (a - b)2 = a2 + b2 - 2ab

- Suma por diferencia: (a + b)·(a – b) = a2 - b2

Para dividir monomios, dividimos los coeficientes y las partes literales.
Para dividir polinomios, primero dividimos el monomio de mayor grado del dividendo entre el del divisor y ponemos el monomio resultante en el cociente. Entonces, multiplicamos este monomio por el divisor y restamos del dividendo, obteniendo un nuevo dividendo en el resto, y repetimos el proceso hasta alcanzar un resto cuyo grado sea menor que el del divisor.
TEOREMA DEL RESTO: El resto de la división de un polinomio, P(x), por (x – a) es igual al valor numérico del polinomio cuando x = a, P(a).
La regla de Ruffini es un método que simplifica las operaciones en una división cuyo divisor es x – a.
Para ello, ponemos los coeficientes del dividendo en fila y multiplicamos el primer coeficiente por a y lo sumamos al siguiente, y así sucesivamente.
Por lo tanto podemos descomponer el polinomio usando sus raíces, identidades notables, la ecuación de segundo grado, sacando factor común y usando la regla de Ruffini.
Se llama fracción algebraica a una fracción con polinomios.
Para simplificar fracciones algebraicas, dividimos numerador y denominador por el mismo factor.
Para reducir a común denominador, hacemos como si fueran fracciones numéricas, usando el  mcm.
Para sumar o restar fracciones algebraicas, necesitamos que tengan el mismo denominador. Entonces sumamos o restamos los numeradores.
Para multiplicar fracciones algebraicas, multiplicamos los numeradores y los denominadores. Para dividir fracciones algebraicas usamos el producto en cruz.