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Resumen

Un vector es un segmento orientado. Lo representamos AB, donde A es su origen y B su extremo.
Las características de un vector son:
– Módulo, |AB| : la longitud del segmento
– Dirección: la dirección de la recta que la contiene y de sus paralelas
– Sentido: el que va del origen al extremo
El conjunto de vectores con el mismo módulo, dirección y sentido (vectores equipolentes) se llama vector libre. El vector de este conjunto que tiene su origen en O y su extremo en el punto P se llama vector de posición del punto P.
Las coordenadas del vector son:
Calculamos el módulo de un vector por el Teorema de Pitágoras:

El ángulo que describe la dirección del vector se llama argumento:
Para sumar dos vectores, u y v, unimos el extremo de u con el origen de v y entonces, u + v tiene como origen el de u y como extremo el de v.
Las coordenadas son la suma de sus coordenadas.
El opuesto del vector v, es otro vector,  -v, con el mismo módulo y dirección pero con sentido opuesto. Las coordenadas son las opuestas de las de v.
Para restar dos vectores, u y v, sumamos u y –v. Sus coordenadas son la resta de las de u y las de v.
El producto de un vector v por un escalar λ (λЄR), es otro vector, λv, con:
– módulo:|λ|·|v|
– la misma dirección
– el mismo sentido si λ>0, y el opuesto si λ<0.
Las coordenadas son λ veces las coordenadas de v.
El producto escalar de dos vectores, u y v, es el número:

Entonces, el ángulo entre dos vectores es:

Dos vectores, u y v, cuyo producto escalar es 0, se dice que son ortogonales. Entonces forman un ángulo de 90o.
NOTA: un vector ortogonal a u(u1,u2) es (-u2,u1)

Un vector director de una recta es cualquier vector con la misma dirección que ella.

Para determinar una recta y sus ecuaciones, necesitamos saber un punto y un vector director o dos puntos de la misma (para obtener un vector director).
Si tenemos un punto, A(a1,a2), y un vector director, u(u1,u2), de la recta r, entonces cualquier punto X(x,y) Є r, tiene como vector de posición

En coordenadas:

ecuaciones paremétricas

Si despejamos λ:

  ecuación continua

Haciendo el producto en cruz y reduciendo:

  ecuación general o implícita

La pendiente de una recta, m, es la tangente del ángulo que forma la recta con el eje de abscisas: m = tg α

Se ve que:

Entonces, una recta se puede determinar también con un punto y la pendiente:

ecuación de punto-pendiente

ecuación explícita

NOTA:

Dos rectas, r y s, pueden ser:
– Secantes, si se cortan en un punto. Si el ángulo que forman es de 90o, son perpendiculares        
– Coincidentes, si tienen los mismos puntos

– Paralelas, si no se cortan en ningún punto

Caso 1. Sabemos las ecuaciones implícitas de ambas rectas:  r :Ax + By + C = 0;  s:A’x+ B’y+ C’ = 0

Caso 2. Sabemos un punto y la pendiente de ambas rectas: r {A,mr}; s {B,ms}

– Si mr = ms:
     • Si A Є s, r y s son coincidentes
     • Si A no pertenece a s, r y s son paralelas
– Si mr = ms: r y s son secantes
El haz de rectas secantes, es el conjunto de infinitas rectas que pasan por el punto P(p1,p2):

El haz de rectas paralelas, es el conjunto de infinitas rectas paralelas a r : Ax + By + C = 0