Funciones
Resumen
Una función f, es una relación entre dos conjuntos de modo que a cada elemento del primer conjunto le corresponde exactamente un elemento del segundo conjunto.
f:X → Y, X es el conjunto inicial e Y el conjunto final
x→ y = f(x) x se llama variable independiente (variable) e y se llama variable dependiente. f(x) es la imagen de x.
Hay 4 maneras de expresar una función: de modo verbal, algebraicamente, con una tabla y con una gráfica
El dominio de una función es el subconjunto del conjunto inicial de los elementos que tienen imagen.
El recorrido o imagen es el subconjunto del conjunto final de los elementos que son imagen de un elemento del dominio.
Las principales características de una función son:
1.Tipo de función
2.Dominio y recorrido
3.Continuidad
4.Simetría
5.Periodicidad
6.Puntos de corte con los ejes
7.Asíntotas
8.Extremos, crecimiento y decrecimiento
9.Puntos de inflexión y curvatura
Hay diferentes tipos de funciones reales de variable real. Las principales son:
| - Funciones algebraicas: |
· Funciones polinómicas: f(x) = x3 – 5x2 – 11 · Funciones racionales: · Funciones irracionales: |
| - Funciones trascendentales: |
· Funciones exponenciales: f(x) = 3x+1 · Funciones logarítmicas: f(x) = log7 (x2 + 3) · Funciones trigonométricas: f(x) = tg (2x – 7) |
Si hablamos de funciones reales de variable real:
– El dominio de una función polinómica es siempre R.
– En las funciones racionales, tenemos que eliminar las raíces del denominador de su dominio.
– El dominio de una función irracional f(x) = √R(x) es Dom f = {x,R(x)≥ 0}– El dominio de una función logarítmica f(x) = loga L(x) es Dom f = {x,L(x)> 0}
Una función continua es aquella en la que, intuitivamente, “pequeños" cambios en la entrada producen “pequeños" en la salida. De otro modo, se dice que es discontinua.
Una función es par si f(-x) = f(x), es decir, es simétrica respecto al eje Y
Una función es impar si f(-x) = -f(x), es decir, es simétrica respecto al origen
Se dice que una función es periódica con período T si, para alguna constante distinta de cero T, tenemos que: f(x + T) = f(x) para todos los valores de x. Si existe al menos una constante positiva T con esta propiedad, se llama período. Una función con período T se repite en intervalos de longitud T, y a esos intervalos se les conoce a veces también como períodos.
Para encontrar los puntos de corte con los ejes debemos resolver estos sistemas:
Una asíntota es una recta que cumple que la distancia entre la gráfica y la recta se aproxima a cero cuando tiende a infinito.
Hay tres tipos de asíntotas: horizontales, verticales y oblicuas.
Se dice que una función es creciente en un intervalo si, para todo x1 y x2 en el intervalo tal que x1 < x2, entonces f(x1) < f(x2).
Se dice que una función es decreciente en un intervalo si, para todo x1 y x2 en el intervalo tal que x1 < x2, entonces f(x1) > f(x2).
El máximo y mínimo de una función, los extremos, son el valor mayor y menor que toma la función en un punto bien en un entorno dado (extremo relativo) o en todo el dominio (extremo absoluto).
Para estudiar la curvatura de una función, hay que encontrar los intervalos en los cuales la función es cóncava hacia arriba o cóncava hacia abajo. Un punto de inflexión es un punto de la curva en el cual la curvatura o concavidad cambia.
Definimos la suma, resta, multiplicación y división de funciones como:
· (f ± g)(x) = f(x) ± g(x)
· (f · g)(x) = f(x) · g(x)
· (f/g) (x) = f(x)/g(x) (if g(x)≠0)
La composición de funciones es la aplicación de una función al resultado de otra. Se representa por g˚f, y decimos “f compuesta con g”.
g˚f(x) = g(f(x)) (si f(x)Є Dom g)
NOTA: como se puede ver en el ejemplo, la composición de funciones no cumple la propiedad conmutativa g˚f ≠ f˚gLa función inversa de f es una función que deshace otra función, es decir, es la función f-1 tal que f˚ f-1(x) = f-1 ˚f (x) = i(x) = x
NOTA: las funciones inversas son simétricas y su eje de simetría es la recta y = x
Una función es afín si tiene esta expresión algebraica: y = f(x) = mx + n (m,n є R), con un polinomio de grado 0 o 1.
Su gráfica es una recta, donde m se llama pendiente y n ordenada en el origen.
• Si m > 0 la función es creciente
• Si m < 0 la función es decreciente
Una función es cuadrática si tiene esta expresión algebraica: y = f(x) = ax2 + bx + c (a,b,c єR, a≠0), con un polinomio de grado 2.
Su gráfica es una parábola, con un extremo relativo en un punto llamado vértice.
El vértice tiene x = -b/2a como abscisa, y la parábola tiene un eje de simetría en la recta x = -b/2a.
Para dibujar su gráfica, calculamos el vértice, los puntos de corte con los ejes y dos o tres puntos cercanos al vértice.
Una función definida a trozos es una función cuya definición cambia dependiendo del valor de la variable independiente.
Una función racional es el cociente entre funciones polinómicas:
Una de las más simples es la función de proporcionalidad inversa, cuya expresión algebraica es:
Su gráfica es una hipérbola con sus dos ramas en cuadrantes opuestos y sus asíntotas en los ejes de coordenadas.
Su dominio y su recorrido es R-{0}, y es impar. Es decreciente si k > 0, y creciente si k < 0, en todo su dominio. No tiene extremos
Una función irracional es la que tiene la variable en el radicando:
Una función exponencial es la que tiene la variable en el exponente de una potencia:
Su dominio es R y su recorrido (0,∞), y no es simétrica. Es decreciente si 0 < a < 1, y creciente si a > 1, en su dominio. No tiene extremos. Su gráfica siempre pasa por (0,1).
Una función logarítmica si tiene la variable en un logaritmo:
Su dominio es (0,∞) y su recorrido R, y no es simétrica. Es decreciente si 0 < a < 1, y creciente si a > 1, es su dominio. No tiene extremos. La gráfica siempre pasa por (1,0).
Función seno:
Función coseno:
Función tangente:
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