Para determinar una recta necesitamos un punto y un vector, llamado vector director:
Pasamos a coordenadas
Si despejamos λ e igualamos:
Haciendo el producto en cruz y simplificando en dos de ellas obtenemos:
Para determinar un plano necesitamos un punto y dos vectores linealmente independientes (sus vectores directores):
Pasamos a coordenadas:
Si tenemos:
donde n es un vector normal, es decir, un vector ortogonal a todo vector que tiene la dirección de π. Entonces:
NOTA:
A. DOS PLANOS
- Si rg(A)=rg(A*)=1 → coincidentes
- Si rg(A)=1≠2=rg(A*) → paralelos
- Si rg(A)=rg(A*)=2 → secantes
B. UN PLANO Y UNA RECTA
- Si rg(A)=rg(A*)=2 → recta contenida en el plano
- Si rg(A)=2≠3=rg(A*) → paralelos
- Si rg(A)=rg(A*)=3 → secantes
C. DOS RECTAS
- Si rg(A)=rg(A*)=2 → coincidentes
- Si rg(A)=2≠3=rg(A*) → paralelas
- Si rg(A)=rg(A*)=3 → secantes
- Si rg(A)=3≠4=rg(A*) → se cruzan
D. TRES PLANOS
- Si rg(A)=rg(A*)=1 → coincidentes
- Si rg(A)=1≠2=rg(A*) → Dos coincidentes y uno paralelo o los tres paralelos
- Si rg(A)=rg(A*)=2 → o bien se cortan en una recta o dos son coincidentes y el otro se corta con ellos en una recta
- Si rg(A)=2≠3=rg(A*) → o bien dos son paralelos y el otro secante o forman un prisma triangular
- Si rg(A)=rg(A*)=3 → se cortan en un punto
El haz de planos secantes que contienen a una recta r
es:
o:
El haz de planos paralelos al plano π
es
