Resumen | Vectores

Un vector es un segmento orientado. Lo representamos AB, donde A es el origen y B el extremo.

Las características de un vector son:

–Módulo |AB|: la longitud del segmento.

–Dirección: la de la recta que lo contiene y sus paralelas.

–Sentido: el que va desde el origen al extremo.

Cada vector queda definido por su módulo dirección y sentido.

Se dice que dos vectores son equipolentes si tienen el mismo módulo dirección y sentido. El conjunto de vectores equipolentes entre sí se llama vector libre y su módulo, dirección y sentido es el de cualquier vector del conjunto.

Para sumar dos vectores, u y v, unimos el extremo de u con el origen de v y entonces, u + v tiene como origen el de u y como extremo el de v.

El opuesto de un vector v, es otro vector, -v, con el mismo módulo y dirección y sentido opuesto.

Para restar dos vectores, u y v, sumamos u y –v.

La multiplicación de un vector v por un escalar λ (λЄR), es otro vector, λv, con:

–módulo:|λ|·|v|

–la misma dirección que v

–con el mismo sentido si λ > 0, y sentido opuesto si λ < 0.

PROPIEDADES. Sean u, v, w vectores libres y λ, µ números reales

–(i) Propiedad conmutativa: u + v = v + u

–(ii) Propiedad asociativa: u + (v + w) = (u + v) + w

–(iii) Elemento neutro:

–(iv) Elemento opuesto:

–(v) Propiedades distributivas:

(λ +µ)·u= λ·u + µ·u λ(u+v) = λ·u + λ·v

–(vi)

–(vii) Desigualdad triangular: |u + v| ≤ |u| + |v|

Con todas estas propiedades,

tiene una estructura de espacio vectorial.

Un conjunto de vectores u₁,u₂,…,un se dice que son linealmente dependientes si existen k₁,k₂,…,k_nЄR, tales que:

k₁u₁ + k₂u₂ +….+ k_nu_n= 0 (vector) con algún k_i ≠ 0

Es decir, uno de ellos es combinación lineal de los otros. En caso contrario, se dice que son linealmente independientes.

Se dice que un conjunto de vectores es un sistema generador si todos los vectores se pueden expresar como combinación lineal de esos vectores.

Una base es un conjunto de vectores linealmente independientes que es sistema generador.

Teorema de la base. Todas las bases de un espacio vectorial tienen el mismo número de elementos. Este número se llama dimensión del espacio vectorial.

En R³ , tenemos la base canónica:

Entonces, si A(a₁,a₂,a₃) y B(b₁,b₂,b₃)

Y siempre existe un vector equipolente

el vector de posición de P

Para calcular el módulo usamos el teorema de Pitágoras:

Entonces, se prueba que:

Si |v| = 1, se dice que es un vector unitario.

Las operaciones con vectores en coordenadas serían:

El producto escalar de dos vectores, u y v, es el número real: u·v = u₁·v₁ + u₂·v₂ + u₃v₃

Propiedades:

- Propiedad conmutativa: u·v = v·u

- Propiedad asociativa con respecto al producto por un escalar: (k·u)·v = k·(u·v) k€R

- Propiedad distributiva: u·(v + w) = u·v + u·w

- v·v = |v|²

- Desigualdad de Cauchy-Schwartz: |u·v| ≤ |u|·|v|

Teorema. Si θ (≤ π) es el ángulo entre u y v, entonces:

Entonces

Dos vectores, u y v, se dice que son ortogonales si u·v=0

Propiedades:

–Si u = 0 → u es ortogonal a todos los vectores

–Si u,v ≠ 0, entonces: u·v = 0 ↔ θ = π/2

Una base ortonormal está formada por vectores unitarios ortogonales entre sí.

Un ejemplo de base ortonormal es la base canónica.

Sean v y w dos vectores no nulos. Si w=w1+w2 con w1 paralelo a v y w2 ortogonal a v, decimos que w1 es la proyección ortogonal de w sobre v y w2 su componente ortogonal.