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Identidades notables

Llamamos identidades notables a algunos productos con binomios que aparecen con frecuencia en cálculos con expresiones algebraicas.

- Cuadrado de una suma:

(a + b)2 = a2 + b2 + 2ab


(a + b)2 = (a + b)·(a + b) = a2 + ab + ba + b2 = a2 + b2 + 2ab


Ejemplo:


(x + 2)2 = x2 + 22 + 2 · x · 2 = x2 + 4x + 4

- Cuadrado de una resta: (a - b)2 = a2 + b2 - 2ab


(a - b)2 = (a - b)·(a - b) = a2 - ab - ba + b2 = a2 + b2 - 2ab


Ejemplo:

 

(2x - 3)2 = (2x)2 + 32 - 2 · 2x · 3 = 4x2 - 12x + 9


- Suma por diferencia: (a + b)·(a – b) = a2 - b2
    

(a + b)·(a – b) = a2 - ab + ba + b2 = a2 – b2
    

Ejemplo:
    

(x + 7)·(x – 7)= x2 – 72 = x2 - 49

Podemos usar las identidades notables:

-En cálculos:

 (x +1)2 – (x – 1)2 = x2 + 2x + 1 – (x2 – 2x + 1)= x2 + 2x + 1 – x2 + 2x - 1= 4x

-Para factorizar un polinomio:

 

 x2 – 4x + 4 = x2 – 2 · 2 · x + 22 = (x – 2)2
 

x2 -  9 = (x + 3)·( x – 3)

 

 

Ejercicios

1.- Expande estas expresiones:

a) (2x + 1)2 =

b) (3x - 2)2 =

c) (2x - 7)·(2x + 7) =

 

2.- Descompón estos polinomios en factores:

a) x2 - 4x + 4 =

b) 4x2 - 1 =

c) 36a2 - 12ab + b2 =

 

3.- Calcula:

a) (x + 2)2 - (x + 2)·(x -2) =

b) (a + b)2 - a2 + 2ab - 2b2 =

 

 

 

Soluciones: 1.- a) 4x2 + 4x +1; b) 9x2 - 12x + 4; c) 4x2 - 49; 2.- a) (x - 2)2; b) (2x +1)·(2x -1); c) (6a - b)2

              3.- a) 4x + 8; b) 4ab -b2